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Geometry And Topology

Theory of retracts by S. T Hu

By S. T Hu

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2. Un espace topologique (X, T ) est compact s’il est s´epar´e et si de toute famille de ferm´es d’intersection vide on peut extraire une sousfamille finie d’intersection vide : ∩ Fi = ∅ i∈I ⇒ ∃J ⊂ I, J fini, ∩ Fi = ∅ . i∈J Le r´esultat suivant est une cons´equence utile dans le cas ou les ferm´es sont emboˆıt´es. 47 48 Compacit´e. 3. Si (X, T ) est un espace compact, toute suite d´ecroissante de ferm´es non vides, (Fn )n∈N , Fn+1 ⊂ Fn , Fn = ∅, a une intersection non vide. Preuve : Par contrapos´ee, si ∩n∈N Fn = ∅, il existe n1 , .

Supposons que pour tout n ∈ N, il existe 1 xn ∈ A tel que B(xn , n+1 ) n’est incluse dans aucun des Oi . Par l’hypoth`ese iii), on peut extraire une sous-suite (xnk )k∈N convergeant dans A. Posons l = limk∈N xnk . Comme l appartient `a A, il existe i ∈ I tel que l ∈ Oi et comme Oi est ouvert, il existe ε > 0 tel que B(l, ε) ⊂ Oi . Par d´efinition de la limite on peut trouver kε tel que d(l, xnk ) ≤ 3ε pour k ≥ kε et on peut donc supposer kε assez grand pour que nk 1+1 ≤ 3ε . Mais dans ce cas, on a B(xnkε , nk 1+1 ) ⊂ ε ε B(l, ε) ⊂ Oi , ce qui contredit la d´efinition de la suite (xn )n∈N .

O ⊂ O. 2. a) La topologie grossi`ere est la moins fine de toutes les topologies, O = {∅, X}. La topologie discr`ete est la plus fine O = P(X). b) Si A est une partie de l’ensemble X muni de la topologie T . La topologie induite TA sur A par T est la topologie la moins fine qui rendent l’injection i : A → X continue. En effet pour que l’injection soit continue, il faut que pour tout O ∈ O l’image r´eciproque O ∩ A = i−1 (O) soit un ouvert. Autrement dit la topologie sur A doit ˆetre plus fine que la topologie induite.

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