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Elementare Algebraische Geometrie: Grundlegende Begriffe und by Klaus Hulek

By Klaus Hulek

Dieses Buch gibt eine Einführung in die Algebraische Geometrie. Ziel ist es, die grundlegenden Begriffe und Techniken der algebraischen Geometrie darzustellen und an Hand zahlreicher Beispiele zu erläutern. Dies soll es dem Leser ermöglichen, selbständig mit weiterführenden Texten zu arbeiten. Die Sprache wird bewusst elementar gehalten. Besonderes Gewicht wird auf die Darstellung des Wechselspiels zwischen der Entwicklung der allgemeinen Theorie einerseits, und der Behandlung von konkreten Beispielen und Anwendungen andererseits, gelegt. Der Umfang entspricht dem Stoff einer 1-semestrigen 4-stündigen Vorlesung. Das Buch ist geeignet für Studierende der Mathematik im Bachelor-Studium, die die einführenden Vorlesungen über Algebra und Funktionentheorie gehört haben. Die Neuauflage wurde stark überarbeitet, neue Abbildungen wurden erstellt, weitere Übungsaufgaben und Lösungshinweise zu allen Übungsaufgaben wurden ergänzt.

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Die Charakteristik eines K¨orpers k ist bekanntlich die eindeutig bestimmte Primzahl p, f¨ ur die p · 1 = 1 + ... + 1 = 0 p−mal gilt, bzw. 0, falls p · 1 = 0 stets. Beispiele f¨ ur K¨orper positiver Charakteristik sind die K¨orper Fp = Z/pZ, bzw. deren algebraische Abschl¨ usse. Der K¨orper C hat die Charakteristik 0. Definition. Ein nicht konstantes irreduzibles Polynom f = an xn + . . + a1 x + a0 ∈ k[x] 30 ¨ KAPITEL 1. AFFINE VARIETATEN heißt separabel , falls die formale Ableitung f = nan xn−1 + .

X ) n) sind zueinander inverse Morphismen. 3. RATIONALE FUNKTIONEN UND ABBILDUNGEN 49 Bild 3 illustriert den Satz f¨ ur den Fall V = A1k und f = x − 1. in diesem Fall ist p die Projektion auf die x-Achse. t-Achse W = V (t(x − 1) − 1) p ❄ x-Achse, V = A1k Vx−1 die Gerade x − 1 = 0 Bild 3: Vf als affine Variet¨at Jede offene Menge in V ist eine Vereinigung von Mengen der Form Vf . D. h. die Mengen Vf bilden eine Basis der Zariski-Topologie auf V . 54. Die Zariski-Topologie auf V besitzt eine Basis aus affinen Mengen.

2 Die Strukturgarbe einer Variet¨ at. Der zuvor eingef¨ uhrte lokale Ring OV,P ist ein Ring, der durch Lokalisieren entsteht. 3. RATIONALE FUNKTIONEN UND ABBILDUNGEN 45 ¯ P . Das d. h. OV,P entsteht aus dem Koordinatenring durch Lokalisieren nach M maximale Ideal von OV,P ist dann gegeben durch mP = {f ∈ OV,P ; f (P ) = 0}. F¨ ur jede offene Menge ∅ = U ⊂ V definieren wir O(U ) := OV (U ) := {f ∈ k(V ); f ist regul¨ar auf U }. Dann ist OV (U ) ein Ring, bzw. eine k-Algebra. Die Menge der Ringe OV (U ) (wir setzen OV (∅) := {0}) bilden zusammen mit den nat¨ urlichen Einschr¨ankungshomomorphismen die Strukturgarbe OV .

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