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Geometry And Topology

Chapter 7 Metric and Affine Conformal Geometry by Burstall F.E.

By Burstall F.E.

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R3 tal que p ∈ X(D) se le llama b) El conjunto {X(D) ∩ M }p∈X(D) se le llama entorno coordenado de p o bien entorno local. c) La uni´on de todos los entornos locales es un cubrimiento abierto de M . Antes de dar una caracterizaci´on de las superficies, vamos a enunciar sin demostrar el teorema de la funci´on impl´ıcita para funciones del tipo /R. 3 (Funci´ on Impl´ıcita). Sea F : R3 ∂F que F (p) = 0. Entonces ∂x = 0 si y s´olo si existen un entorno abieto U de i /V ⊂R (x1 , x2 ), un entorno abierto V de p3 y una u ´nica funci´on g : U ⊂ R2 tal que g(x1 , x2 ) = x3 y F (x1 , x2 , g(x1 , x2 )) = 0 para todo (x1 , x2 ) ∈ U .

El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 1, z = 0} es una superficie regular?. / R3 es una superficie regular si y s´ 2. Demuestre que X : D ⊆ R2 olo ∂Xi si existe una existe una submatriz de ∂uj ij con determinante distinto de cero. 3. Demuestre que el bicono {(x, y, z) ∈ R3 : z 2 = x2 + y 2 } no es una superficie regular. 4. Demuestre que el cilindro S 1 × R = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z ∈ R} es una supeficie. Encuentre las cartas locales cuyos entornos coordenados forman un cubrimiento del cilindro.

54 dl (0) = − dt d < λ(s)S(s), T (s) > ds. 63) c T. 62 se convierte en dl (0) = − dt d λ(s)κg (s)ds. 64 se reescribe como dl (0) = − dt d c (s − c)(s − d)κ2g (s)ds. 68) c Contradiciendo el hecho de que dl (0) = 0. Esta contradicci´on provino de dl suponer que κg (s0 ) = 0 para alg´ un s0 ∈ [a, b]. En consecuencia κg (s) = 0 para todo s ∈ [a, b], es decir α es una geod´esica. 1. Sea M una superficie y α : (a, b) gular y unitaria sobre M . Un campo vectorial a trav´es de α es una apliaci´on / R2 diferenciable tal que, para todo s ∈ (a, b), z(s) ∈ Tα(s) M .

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